Chóp S.ABC, \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \r...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Vẽ \(SH\bot BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\) và \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

* Vẽ \(HE\bot AB;\,\,HK\bot SE\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)\)

\(\Rightarrow d\left( H;\left( SAB \right) \right)=HK\)

* Chứng minh \(HK\bot \left( SAB \right)\)

* Ta có \(\frac{BC}{BH}=2=\frac{d\left( C;\left( SAB \right) \right)}{d\left( H;\left( SAB \right) \right)}\).

\(\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2d\left( H;\left( SAB \right) \right)=2HK\)

* Tính HK :    + Xét tam giác vuông ABC có \(\sin B=\frac{AC}{a}\Rightarrow AC=a\sin {{30}^{0}}=\frac{a}{2}\)

                        + HE là đường trung bình \(\Rightarrow HE=\frac{AC}{2}=\frac{a}{4}\)

+ Tam giác vuông SHE: \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}+\frac{16}{{{a}^{2}}}=\frac{52}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow d=2HK=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)

Chọn đáp án C.