Tính tổng các nghiệm của phương trình \(8\cos x.\c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình ban đầu về dạng phương trình cơ bản và tìm nghiệm phù hợp

Giải chi tiết:

Ta có: \(8\cos x.\cos 2x.\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow 8\cos x\cos 2x\cos 4x = 1\left( 1 \right)\)

Nhận thấy \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \) không là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Với \(x \ne k\pi \):

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Leftrightarrow 4\sin 2x\cos 2x\cos 4x = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\\ \Leftrightarrow 2\sin 4x\cos 4x = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Leftrightarrow \sin 8x = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = x + m2\pi \\8x = \pi - x + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{m2\pi }}{7}\\x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{n2\pi }}{9}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {m,n \in Z,m \ne \dfrac{{7k}}{2},n \ne \dfrac{{9k - 1}}{2}} \right)\end{array}\)

Do \(x \in \left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) nên 

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{7} \Rightarrow k \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;1;2;3;5;6} \right\}\\x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k2\pi }}{9} \Rightarrow k \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;5;6;7;8} \right\}\end{array} \right.\)

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình trên là \(\dfrac{{2\pi }}{7}\left( { - 3 - 2 - 1 + 1 + ... + 6} \right) + 12.\dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{2\pi }}{9}\left( { - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 + ... + 3 + 5 + ... + 8} \right) = \dfrac{{30\pi }}{7} + \dfrac{{12\pi }}{9} + \dfrac{{44\pi }}{9} = \dfrac{{662\pi }}{{63}}\)

Chọn C.