Tập nghiệm của bất phương trình \({4^{{{\log }_2}2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^{{{\log }_b}c}} = {c^{{{\log }_b}a}}\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^{{{\log }_2}x}}\\v = {3^{{{\log }_2}x}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {u,v > 0} \right),\) đưa bất phương trình về bất phương trình tích hai ẩn u, v. Giải tìm mối quan hệ giữa u, v.

Thay ngược lại \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^{{{\log }_2}x}}\\v = {3^{{{\log }_2}x}}\end{array} \right.\) tìm x.

Giải chi tiết:

ĐK : \(x > 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {2^{{{\log }_2}x}}\\v = {3^{{{\log }_2}x}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {u,v > 0} \right),\) khi đó bất phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}4{u^2} - uv - 18{v^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 8uv - 9uv - 18{v^2} \le 0\\\Leftrightarrow 4u\left( {u + 2v} \right) - 9v\left( {u + 2v} \right) \le 0\\\Leftrightarrow \left( {4u - 9v} \right)\left( {u + 2v} \right) \le 0\end{array}\)

Ta có \(u + 2v > 0\,\,\forall x \Rightarrow bpt \Leftrightarrow 4u - 9v \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4.2^{{{\log }_2}x}} - {9.3^{{{\log }_2}x}} \le 0\\\Leftrightarrow {4.2^{{{\log }_2}x}} \le {9.3^{{{\log }_2}x}}\\\Leftrightarrow {2^{2 + {{\log }_2}x}} \le {3^{2 + {{\log }_2}x}}\\ \Leftrightarrow 2 + {\log _2}x \le \left( {2 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}3\\ \Leftrightarrow \left( {2 + {{\log }_2}x} \right)\left( {{{\log }_2}3 - 1} \right) \ge 0\\\Leftrightarrow 2 + {\log _2}x \ge 0 \Leftrightarrow {\log _2}x \ge  - 2 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là : \(\left[ {\frac{1}{4}; + \infty } \right) \Rightarrow a = \frac{1}{4} \Rightarrow \) phương trình \({x^2} - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{1}{2}\)

Chọn B.