Giải phương trình: \(20{\left( {\frac{{x -...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tìm ĐKXĐ

+ Nhận thấy \(x =  - 2\) không là nghiệm nên ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\) , khi đó xuất hiện các hạng tử giống nhau, đặt ẩn phụ, tìm đk của ẩn phụ rồi giải phương trình nhận được.

+ Thay giá trị của ẩn phụ vào cách đặt ta tìm được ẩn ban đầu.

+ Đối chiếu đk rồi kết luận nghiệm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\) .

\(Pt \Leftrightarrow 20{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0\)

Với \(x =  - 2\) ta có phương trình \( \Leftrightarrow 20.{\left( {\frac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0\) vô lý \( \Rightarrow x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Lại có với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 2\) thì \({\left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\), ta được:

\(pt \Leftrightarrow 20{\left[ {\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0\)

Đặt \(t = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) , ta có

 \(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 20{t^2} + 48t - 5 = 0 \Leftrightarrow 20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\\Leftrightarrow 10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + 5 = 0\\10t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{5}{2}\\t = \frac{1}{{10}}\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t =  - \frac{5}{2}\) ta có:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \frac{5}{2}\\\Rightarrow 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) =  - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 =  - 5{x^2} - 15x - 10\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 9x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + 2.\frac{9}{{14}}x + \frac{{81}}{{196}}} \right) - \frac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7{\left( {x + \frac{9}{{14}}} \right)^2} + \frac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}\)

Với \(t = \frac{1}{{10}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{10}}\\\Rightarrow 10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 1\\\Leftrightarrow 9{x^2} - 33x + 18 = 0\\\Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 6 = 0\\\Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x = 3\end{array} \right.(tm)\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;\,\,\frac{2}{3}} \right\}\) .