Biết rằng hệ số của \({{x}^{4}}\) trong khai triển...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton ta có số hạng tổng quát là \({{T}_{k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{\left( -x \right)}^{n-k}}.\) Do cần tính hệ số của \({{x}^{4}}\) nên ta có \(n-k=4.\) Thay vào \({{T}_{k}}\) và cho \({{T}_{k}}=60\) giải và tìm \(k,\) rồi suy ra \(n.\)

Giải chi tiết:

Số hạng tổng quát là \({{T}_{k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{\left( -x \right)}^{n-k}}.\)

Hệ số của \({{x}^{4}}\) có dạng \(n-k=4\Rightarrow n=k+4\Rightarrow {{T}_{k}}=C_{k+4}^{k}{{.2}^{k}}.\)

Do hệ số này bằng \(60\) nên ta có \(C_{k+4}^{k}{{.2}^{k}}=60\Leftrightarrow \frac{\left( k+4 \right)!}{k!.4!}{{.2}^{k}}=60\Leftrightarrow \left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)\left( k+4 \right){{2}^{k}}=60.4!\Leftrightarrow k=2\Rightarrow n=2+4=6.\)

Chọn đáp án B.