Cho biểu thức: \(A=\left( 1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Để A nguyên thì tử số phải chia hết cho mẫu số.

Giải chi tiết:

a)     Điều kiện: \(x\ge 0,\ x\ne 4,\ x\ne 9.\)

\(\begin{array}{l}
A = \left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\\
\;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3) - (\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2) + \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x - 2)}}\\
\;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x - 2)}}\\
\;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x - 2)(\sqrt x - 3)}}\\
\;\;\; = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{1}\\
\;\;\; = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.
\end{array}\)

b)  Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{3}{\sqrt{x}+1}.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow A\in Z\Leftrightarrow \left( 1-\frac{3}{\sqrt{x}+1} \right)\in Z\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{x}+1}\in Z. \\ & \Rightarrow \left( \sqrt{x}+1 \right)\in U\left( 3 \right). \\\end{align}\)

Mà \(\sqrt{x}+1>0\Rightarrow \left( \sqrt{x}+1 \right)\in \left\{ 1;\ 3 \right\}.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x + 1 = 1\\
\sqrt x + 1 = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt x = 0\\
\sqrt x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\\
x = 4\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy \(x=0\) thì \(A\in Z.\)

 Chọn D