Hàm số \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\).

+) Với \(a=0,b\ne 0\) ta có \(y=b{{x}^{2}}+c\) là phương trình bậc hai có đồ thị là một parabol.  Hàm số này chỉ có một cực trị \(x=0\)( là cực đại nếu \(b<0\), là cực tiểu nếu \(b>0\)) .

+) Với \(a\ne 0\) thì \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) là hàm trùng phương (bậc 4). Hàm này hoặc có ba cực trị hoặc có một cực trị. Trong trường hợp có ba cực trị thì luôn luôn có cực tiểu nên để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì hàm số chỉ có một cực trị là cực đại.

Nghĩa là phương trình \({y}'=0\) có nghiệm \({{x}_{0}}\) duy nhất  và \({{x}_{0}}\) là điểm cực đại.

Giải chi tiết:

+) Với \(m=0\) thì ta có hàm số \(y=3{{x}^{2}}-1\) có \(3>0\) nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên\(\Rightarrow \) hàm số có cực tiểu \(x=0\).

+) Với \(m\ne 0\) ta có hàm trùng phương \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2m-1\)

\(\Rightarrow {y}'=4m{{x}^{3}}+2\left( m+3 \right)x=x\left( 4m{{x}^{2}}+2m+6 \right)\), \({{y}'}'=12m{{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)\).

Xét phương trình\({y}'=0\) \(\Leftrightarrow x\left( 4m{{x}^{2}}+2m+6 \right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{{ - m - 3}}{2m}\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình \({y}'=0\) có nghiệm \(x=0\) duy nhất .

Hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x=0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - m - 3}}{2m} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{m + 3}}{2m} \ge 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m \le  - 3\\m > 0\end{array} \right.\).

Với \(m>0\) thì \(4m{{x}^{2}}+2m+6>0\,\forall x\) nên \({y}'>0\Leftrightarrow x>0,{y}'<0\Leftrightarrow x<0\) do đó \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số (loại).

Với \(m\le -3\) thì \(4m{{x}^{2}}+2m+6\le 0\,\forall x\) nên \({y}'>0\Leftrightarrow x<0,{y}'<0\Leftrightarrow x>0\) do đó \(x=0\) là điểm cực tiểu (nhận).

Chọn A.