Cho hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}mx...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0\(\rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Tính giá trị lớn nhất của \(P = x.y\)

Giải chi tiết:

Ta có:  

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\1&{ - m}\end{array}} \right| =  - {m^2} + 1 = \left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 1}&{ - m}\end{array}} \right| =  - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\1&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\leftrightarrow D \ne 0\) \(\Leftrightarrow - {m^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{ - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = x.y = \frac{{ - m(2m + 1)}}{{{{(m + 1)}^2}}} = \frac{{ - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} + \frac{{3\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} =  - 2 + \frac{3}{{m + 1}} - \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\) 

Đặt \(\frac{1}{{m + 1}} = t \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {t^2} \Rightarrow P =  - 2 + 3t - {t^2} =  - {\left( {t - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \Rightarrow {P_{\max }} = \frac{1}{4}\)

Dấu “ = ’’ xảy ra \(\Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{m + 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{3}\)

Chọn D.