Kết luận nào sau đây đúng về số nghiệm của hệ phươ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ hai phương trình đã cho ta làm xuất hiện phương trình hệ quả là phương trình tích.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} - 3y = x - 3xy}\\{{x^3} - {x^2} = {y^2} - 3{y^3}}\end{array}} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} + 3xy = x + 3y}\\{{x^2} + {y^2} = {x^3} + 3{y^3}}\end{array}} \right.\)

TH1: x + 3y = 0 => x = -3y, thay vào hệ ta được :  x = y = 0

TH2: x² + y² = 0 => x = y = 0 thỏa mãn hệ.

TH3: \(x+3y\ne 0,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ne 0\). Khi đó ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\left( {5{x^2} + 3xy} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \left( {x + 3y} \right)\left( {{x^3} + 3{y^3}} \right) \Leftrightarrow 5{x^4} + 5{x^2}{y^2} + 3{x^3}y + 3x{y^3} = {x^4} + 3x{y^3} + 3{x^3}y + 9{y^4}\\ \Leftrightarrow 4{x^4} + 5{x^2}{y^2} - {\rm{ }}9{y^4} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {4{x^2} + 9{y^2}} \right) = 0\end{array}\)

+)  4x² + 9y² = 0 (vô nghiệm vì x = y = 0 không thỏa mãn đk)

\(+)\,\,{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow y=\pm x\).

Với \(x=y\) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} - 3x = x - 3{x^2}}\\{{x^3} - {x^2} = {x^2} - 3{x^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{x^2} = 4x\\4{x^3} = 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(x=-y\) ta có hệ phương trình : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{x^2} + 3x = x + 3{x^2}}\\{{x^3} - {x^2} = {x^2} + 3{x^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} =  - 2x\\2{x^3} =  - 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Kết luận: Hệ có tập nghiệm là: \(S=\left\{ \left( 0;\,0 \right),\,\,\left( \frac{1}{2};\,\frac{1}{2} \right),\,\,\left( -1;\,1 \right) \right\}\)

Chọn D.