Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết:

Xác định \({45^0} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}\)

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AC = BD = 2a\sqrt 2 \)

Gọi \(O = AC \cap BD\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DO \bot AC\\DO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

Do đó \(\widehat {\left( {SD;\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;SO} \right)} = \widehat {DSO} \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right).\)

Ta có \(DO = \frac{1}{2}BD = a\sqrt 2  = AO\), \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}}  = \sqrt {8{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt {10} \).

Tam giác vuông SOD, có \(\tan \widehat {DSO} = \frac{{OD}}{{OS}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A.