Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

Gọi \(O\) là trung điểm \(ÁC\)

\(M’, N’\) lần lượt là trung điểm \(SO, ND\)

\(H\) là trung điểm \(AO\)

Chứng minh được \(MN//M'N'\) (vì \(MM'//BO//NN'\) và \(MM' = NN' = \dfrac{1}{2}BO\) nên \(MM'N'N\) là hình bình hành, do đó \(MN//M'N'\))

\(N'C \bot M'C\) (vì \(AC \bot CD\))

Góc giữa \(MN\) và \((SAC)\) là góc \(\alpha  = \widehat {CM'N'}\).

Ta có \({S_{ABCD}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = a\)

\(\begin{array}{l}M'H = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{a}{2}\\CH = \dfrac{3}{4}CA = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}\\M'C = \sqrt {M'{H^2} + C{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {31} }}{4}\\CN' = \dfrac{3}{4}CD = \dfrac{{3a}}{4}\\M'N' = \sqrt {M'{C^2} + CN{'^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\\\cos \alpha = \dfrac{{M'C}}{{M'N'}} = \dfrac{{\sqrt {310} }}{{20}}\end{array}\)

Chọn đáp án A