Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

Gọi $O$ là trung điểm $ÁC$

$M’, N’$ lần lượt là trung điểm $SO, ND$

$H$ là trung điểm $AO$

Chứng minh được $MN//M'N'$ (vì $MM'//BO//NN'$ và $MM' = NN' = \dfrac{1}{2}BO$ nên $MM'N'N$ là hình bình hành, do đó $MN//M'N'$)

$N'C \bot M'C$ (vì $AC \bot CD$)

Góc giữa $MN$ và $(SAC)$ là góc $\alpha  = \widehat {CM'N'}$.

Ta có ${S_{ABCD}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = a$

$\begin{array}{l}M'H = \dfrac{{SA}}{2} = \dfrac{a}{2}\\CH = \dfrac{3}{4}CA = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}\\M'C = \sqrt {M'{H^2} + C{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {31} }}{4}\\CN' = \dfrac{3}{4}CD = \dfrac{{3a}}{4}\\M'N' = \sqrt {M'{C^2} + CN{'^2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\\\cos \alpha = \dfrac{{M'C}}{{M'N'}} = \dfrac{{\sqrt {310} }}{{20}}\end{array}$

Chọn đáp án A