Lập phương trình chính tắc của hypebol (H)

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hyberbol \(\left( H \right):\,\,{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) có tâm sai \(e = {c \over a}\) và hình chữ nhật cơ sở có kích thước \(2a \times 2b\).

Giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)\).

(H) có tâm sai \(e = {5 \over 3} \Rightarrow {c \over a} = {5 \over 3} \Leftrightarrow c = {5 \over 3}a\)

Mà \({a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{5 \over 3}a} \right)^2} \Leftrightarrow {b^2} = {{16} \over 9}{a^2} \Leftrightarrow b = {4 \over 3}a\) (1)

Vì diện tích của hình chữ nhật cơ sở là 48 đơn vị diện tích nên

\(2a.2b = 48 \Leftrightarrow ab = 12\) (2)

Từ (1), (2), suy ra: \(a.{4 \over 3}a = 12 \Leftrightarrow {a^2} = 9\)

Mà \({b^2} = {{16} \over 9}{a^2} = {{16} \over 9}.9 = 16\).

Phương trình chính tắc của (H):  \({{{x^2}} \over 9} - {{{y^2}} \over {16}} = 1\).

Chọn: D.