Viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {1;a;b} \right)\) là VTPT của (P), viết phương trình mặt phẳng (P).

+) \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = 0\)

+) \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \sqrt 2 \).

Giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow n  = \left( {1;a;b} \right)\) là VTPT của (P), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x + ay + bz = 0\).

Vì \(\left( P \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = 0 \Leftrightarrow 1 + a + b = 0 \Rightarrow a =  - b - 1\)

\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \sqrt 2  \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 + 2a - b} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = \sqrt 2 \,\,\,\left( * \right)\)

Thay \(a =  - b - 1\) vào (*) ta có \(\dfrac{{\left| {1 - 2b - 2 - b} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2} + 2b + 1 + {b^2}} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow {\left( { - 3b - 1} \right)^2} = 2\left( {2{b^2} + 2b + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 9{b^2} + 6b + 1 = 4{b^2} + 4b + 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Với \(b = \frac{3}{5} \Rightarrow a = \dfrac{{ - 8}}{5} \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - \dfrac{8}{5}y + \dfrac{3}{5}z = 0 \Leftrightarrow 5x - 8y + 3z = 0\)

Với \(b =  - 1 \Rightarrow a = 0 \Rightarrow \left( P \right):\,\,x - z = 0\).

Chọn C.