Biết \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ t = sinx.

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x =  - \frac{\pi }{2} \Rightarrow t =  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó ta có : \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\left( \sin x+2 \right)\cos x}{{{\sin }^{2}}x+4\sin x+7}dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{t+2}{{{t}^{2}}+4t+7}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{t+2}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}+3}dt}\)

Đặt \(t+2=\sqrt{3}\tan u\Rightarrow dt=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}t =  - 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{6}\\t = 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sqrt 3 \tan u}}{{3\left( {{{\tan }^2}u + 1} \right)}}\sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\tan udu} \)

\(=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin u}{\cos u}du}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\left( \cos u \right)'}{\cos u}du}=\left. \ln \left| \cos u \right| \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{\sqrt{3}}{2}=\ln \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{align} a=2 \\  b=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow T=a+b=5\)

Chọn A.