Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Mọi điểm thuộc d cách đều 2 điểm A, B nên d nằm trong mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\) của AB.

+) Khi đó \(d=\left( P \right)\cap \left( \alpha  \right)\)

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{3 + 0}}{2} = \frac{3}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{3 + 2}}{2} = \frac{5}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left( -3;-1;0 \right)\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của AB, khi đó \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(-3\left( x-\frac{3}{2} \right)-1\left( y-\frac{5}{2} \right)=0\Leftrightarrow -3x-y+7=0\)

Vì mọi điểm thuộc d đều cách đều A, B nên \(d\subset \left( \alpha  \right)\Rightarrow d=\left( P \right)\cap \left( \alpha  \right)\Rightarrow \) Tập hợp các điểm thuộc d là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\ - 3x - y + 7 = 0\end{array} \right.\)  

Chọn z = 2t ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 7 - 2t\\ - 3x - y =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x =  - 2t\\y =  - 3x + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 7 - 3t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 7 - 3t\\z = 2t\end{array} \right.\) là phương trình đường thẳng cần tìm.

Chọn C.