a) Giải phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 2x}  - x -...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Quy đồng, bỏ mẫu.

+) Đua phương trình về dạng tích và giải phương trình.

b) Đặt: \(a = \sqrt {3x + 4} ;\,\,b = \sqrt {3x + 2} \,\,\,\,\,\left( {a,b \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = \left( {3x + 4} \right)\left( {3x + 2} \right) = 9{x^2} + 18x + 8\\{a^2} - {b^2} = \left( {3x + 4} \right) - \left( {3x + 2} \right) = 2\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

a) Ta có:  Điều kiện xác định: \({x^2} + 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right..\)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2x - \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x}  + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4 - \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  + 2} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x}  - x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x}  = 2\\\sqrt {{x^2} + 2x}  = x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 4 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + 2x = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \pm \sqrt 5 \,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \frac{1}{4}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 1 \pm \sqrt 5 \).

b) Điều kiện: \(x \ge  - \frac{2}{3}.\)

Đặt: \(a = \sqrt {3x + 4} ;\,\,b = \sqrt {3x + 2} \,\,\,\,\,\left( {a,b \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = \left( {3x + 4} \right)\left( {3x + 2} \right) = 9{x^2} + 18x + 8\\{a^2} - {b^2} = \left( {3x + 4} \right) - \left( {3x + 2} \right) = 2\end{array} \right..\)

Vậy phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}\left( {a - b} \right)\left( {1 + ab} \right) = {a^2} - {b^2}\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {1 + ab} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {1 + ab - a - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {3x + 4}  = \sqrt {3x + 2} \\\sqrt {3x + 4}  = 1\\\sqrt {3x + 2}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 = 2\,\,\,\left( {Loai} \right)\\x =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x =  - \frac{1}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \(x =  - \frac{1}{3}.\)