Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông suy ra:

+ Cặp cạnh tương ứng bằng nhau, từ đó ta chứng minh được tam giác cân.

+ Cặp góc tương ứng bằng nhau rồi sử dụng góc kề bù ta chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Giải chi tiết:

a) Tam giác ABC cân tại A nên\(\widehat{B}=\widehat{C}\) . (tính chất)

Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có:

\(\begin{align} & \widehat{E}=\widehat{D}=90{}^\circ (gt) \\ & \widehat{B}=\widehat{C}\ \ (\,cmt) \\ & BC\ \ chung \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \Delta BEC=\Delta CDB\) (cạnh huyền – góc nhọn),

\(\Rightarrow BD=CE\) (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC cân tại A nên\(AB=AC\) (tính chất)

Ta có \(\Delta BEC=\Delta CDB\) (cmt),

\(\Rightarrow BE=CD\) (hai cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow AB-BE=AC-CD\Rightarrow AE=AD\Rightarrow \Delta AED\) cân tại A. (dhnb)

c) Xét \(\Delta AEI\) và \(\Delta ADI\) có:

\(\begin{align} & \widehat{AEI}=\widehat{ADI}=90{}^\circ (gt) \\ & AE=AD\ (cmt) \\ & AI\ chung \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow ~\Delta AEI=\Delta ADI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

\(\Rightarrow \widehat{EAI}=\widehat{DAI}\) (hai góc tương ứng).

Hay AI là phân giác của góc BAC.

Xét \(\Delta BAK\) và \(\Delta CAK\) có:

\(\begin{align} & \widehat{B}=\widehat{C}\ (cmt) \\ & AB=AC\ (cmt) \\ & AK\ chung \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow ~\Delta BAK=\Delta CAK\) (cạnh – góc - cạnh)

\(\Rightarrow \widehat{AKB}=\widehat{AKC}\) ( hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AKB};\,\widehat{\ AKC}\) là hai góc kề bù nên

\(\widehat{AKB}=\widehat{AKC}=90{}^\circ \Rightarrow AK\bot BC\)

. Mà I thuộc AK nên \(AI\bot BC\) . (đpcm)