Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)với \({{u}_{n}}=\frac{1}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Rút gọn biểu thức, rồi tính giới hạn.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{u_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + \dfrac{1}{{5.7}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}\\
\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{{3 - 1}}{{1.3}} + \dfrac{{5 - 3}}{{3.5}} + \dfrac{{7 - 5}}{{5.7}} + ... + \dfrac{{\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)}}{{\left( {2n - 1} \right).\left( {2n + 1} \right)}}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\\
\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\left( {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)
\end{array}
\end{array}\)

\(\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=\lim \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)=\frac{1}{2}.\)

Chọn A.