Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy b...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuôn ABCD ta có \(SO\bot \left( ABCD \right)\)

Xác định \({{60}^{0}}\text{=}\widehat{\left( SB;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SB;OB \right)}=\widehat{SBO}\) và

\(SO=OB.\tan \widehat{SBO}=\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), kẻ \(OK\bot SM\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OK\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK\).

Tam giác vuông SOM, có \(OK=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{M}^{2}}}}=\frac{\sqrt{42}}{14}.\)

Vậy \(d\left( O;\left( SBC \right) \right)=OK=\frac{\sqrt{42}}{14}.\)

Chọn D.