Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi P là trung điểm BC và \(E=NP\cap AC\), suy ra \(PN\parallel BD\) nên \(BD\parallel \left( MNP \right)\).

Do đó

\(d\left( BD;MN \right)=d\left( BD;\left( MNP \right) \right)=d\left( O;\left( MNP \right) \right)=\frac{1}{3}d\left( A;\left( MNP \right) \right).\)Kẻ \(AK\bot ME\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\NP//BD \Rightarrow NP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NP \bot AK\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AK\bot \left( MNP \right)\).  Khi đó \(d\left( A;\left( MNP \right) \right)=AK.\)

Tính được \(SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=10\sqrt{3}\Rightarrow MA=5\sqrt{3};\,\,AE=\frac{3}{4}AC=\frac{15\sqrt{2}}{2}\)

Tam giác vuông \(MAE\), có \(AK=\frac{MA.AE}{\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=3\sqrt{5}.\) Vậy \(d\left( BD;MN \right)=\frac{1}{3}AK=\sqrt{5}\).

Chọn B.