Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho

Giải chi tiết:

Ta có \(I=\int\limits_{-\,1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{-\,1}^{-\,\frac{1}{2}}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{-\,\frac{1}{2}}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}=\underbrace{\int\limits_{-\,1}^{-\,\frac{1}{2}}{f\left( -\,2x-1 \right)\,\text{d}x}}_{{{I}_{1}}}+\underbrace{\int\limits_{-\,\frac{1}{2}}^{1}{f\left( 2x+1 \right)\,\text{d}x}}_{{{I}_{2}}}.\)

\(\bullet \) Đặt \(t=-\,2x-1\Leftrightarrow \text{d}x=-\,\frac{\text{d}t}{2}\) và \(\left\{ \begin{align}  x=-\,1\Rightarrow t=1 \\  x=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right..\) Khi đó \({{I}_{1}}=-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)\,\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2.\)

\(\bullet \) Đặt \(t=2x+1\Leftrightarrow \text{d}x=\frac{\text{d}t}{2}\) và \(\left\{ \begin{align}  x=-\,\frac{1}{2}\Rightarrow t=0 \\  x=1\Rightarrow t=3 \\\end{align} \right..\) Khi đó \({{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)\,\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=3.\)

Vậy \(I=\int\limits_{-\,1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=2+3=5.\)

Chọn D