1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+m-4=0...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) a) Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm phân biệt \(\Delta >0.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-et và biến đổi hệ thức của bài cho để làm bài toán.

2) Đặt điều kiện sau đó giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}+m-4=0\) với m là tham số.

a) Ta có: \(\Delta ={{m}^{2}}-4\left( -{{m}^{2}}+m-4 \right)=5{{m}^{2}}-4m+16\)

                   \(={{m}^{2}}+4{{m}^{2}}-4m+1+15={{m}^{2}}+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}+15.\)

Vì \({{m}^{2}}\ge 0,\ \ {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall m\Rightarrow \Delta >0\ \forall m\Rightarrow \) phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-4 \\\end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right|=2\)

                         \(\begin{align}  & \Leftrightarrow {{\left( \left| {{x}_{2}} \right|-\left| {{x}_{1}} \right| \right)}^{2}}=4 \\ & \Leftrightarrow x_{2}^{2}+x_{1}^{2}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4 \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=4\ \ \ \ \ \left( * \right) \\\end{align}\)

Ta có: \(-{{m}^{2}}+m-4=-\left( {{m}^{2}}-m \right)-4=-{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}-4=-{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{15}{4}<0.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+m-4<0\Rightarrow \left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=-{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-m+4. \\ & \Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2. \\\end{align}\)

Vậy \(m=\pm 2\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

2) Giải phương trình: \(6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-{{x}^{2}}+x+6}\)

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
3 - x \ge 0\\
- {x^2} + x + 6 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \le 3\\
- 2 \le x \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3.\)

\(Pt\Leftrightarrow 6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{\left( x+2 \right)\left( 3-x \right)}\ \ \ \left( * \right).\)

Đặt: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = a\;\;\left( {a \ge 0} \right)\\
\sqrt {3 - x} = b\;\;\;\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = x + 2\\
{b^2} = 3 - x
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = x + 2 + 3 - x = 5.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
6a + 3b = 3{a^2} - 5 + 4ab
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
3{a^2} + 4ab - 6a - 3b = 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
3{a^2} + 4ab - 6a - 3b + {a^2} + {b^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
4{a^2} + 4ab + {b^2} - 3\left( {2a + b} \right) - 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\\
{\left( {2a + b} \right)^2} - 3\left( {2a + b} \right) - 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 5\;\;\;\left( 1 \right)\\
\left[ \begin{array}{l}
2a + b = 5\\
2a + b = - 2
\end{array} \right.
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \(2a+b=5\Leftrightarrow b=5-2a\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {5 - 2a} \right)^2} = 5\\
\Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 20 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2\;\;\left( {tm} \right)\\
a = 5\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 5\\
b = - 5\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 2} = 2\\
\sqrt {3 - x} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = 4\\
3 - x = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\;\;\left( {tm} \right).
\end{array}\)

+) Với \(2a+b=-2\Leftrightarrow b=-2-2a\)

Vì \(a\ge 0\Rightarrow -2-2a<0\Rightarrow b<0\ \) mâu thuẫn với điều kiện \(b\ge 0\Rightarrow \) trường hợp này vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2.\)

Chọn A