Tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\frac{{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({{\log }_{a}}\left( \frac{x}{y} \right)={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\,\,\,\left( x,y>0 \right)\)

+ Xét \(y=f(t)\) đơn điệu trên một khoảng (a,b)

Nếu \(f\left( m \right)=f\left( n \right);\,\,m,n\in \left( a;b \right)\Rightarrow m=n\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{{{x^2} + x + 2}}{{2{x^2} - 3x + 5}} = {x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + x + 2} \right) - {\log _2}\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + x + 2} \right) + \left( {{x^2} + x + 2} \right) = {\log _2}\left( {2{x^2} - 3x + 5} \right) + \left( {2{x^2} - 3x + 5} \right)\end{array}\)

Xét hàm số

\(f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t\,\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow f'\left( t \right)=\frac{1}{t.\ln 2}+1>0\,\,\forall t>0\)

f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng từ \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x^2} + x + 2 = 2{x^2} - 3x + 5 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Chọn đáp án D.