Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

+) Xác định các điểm cực trị của hàm số, nhận xét vị trí các điểm cực trị và tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết:

\(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6mx\). Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\).

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì \(m \ne 0\). Khi đó:

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = 4{m^3} \Rightarrow A\left( {0{\rm{;}}\;4{m^3}} \right) \in Oy\\x = 2m \Rightarrow y\left( {2m} \right) = 0 \Rightarrow B\left( {2m{\rm{;}}\;0} \right) \in Ox\end{array} \right.\)

Vậy tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên \({{S}_{\vartriangle OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB\Leftrightarrow 4=\frac{1}{2}\left| 4{{m}^{3}} \right|\left| 2m \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {{m^4}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {1{\rm{;}} - 1} \right\}\).

Chọn B.