Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, đưa về bài toán cực trị trong Oxyz bằng cách xác định điểm cố định

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;0 \right),\,\,D\left( 0;1;0 \right),\,\,{A}'\left( 0;0;1 \right).\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \({B}'{C}'C\)\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{G{B}'}+\overrightarrow{G{C}'}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.\)

Khi đó \(C{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+{C}'{{M}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{B}'} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{C}'} \right)}^{2}}\)

\(=3\,\,\times \,\,M{{G}^{2}}+2.\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{G{B}'}+\overrightarrow{G{C}'}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{{B}'}^{2}}+G{{{C}'}^{2}}+G{{C}^{2}}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,T.\)

Suy ra \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow \,\,M{{G}_{\min }}\Leftrightarrow \) \(M\) là hình chiếu của \(G\) trên \(mp\,\,\left( {A}'BD \right).\)

Ta có \({B}'\left( 1;0;1 \right),\,\,{C}'\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \,\,G\left( 1;\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right).\) Và \(\left[ \overrightarrow{{A}'B};\overrightarrow{{A}'D} \right]=\left( 1;1;1 \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {A}'BD \right)\) là \(x+y+z-1=0\)\(\Rightarrow \,\,M\left( \frac{5}{9};\frac{2}{9};\frac{2}{9} \right).\) Vậy \(BM=\frac{2\sqrt{6}}{9}.\)

Chọn A