Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của BC, O là tâm tam giác đều ABC        

Vì ABCD là tứ diện đều  \( \Rightarrow DO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác ABC đều \( \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(DO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow DO \bot AO \Rightarrow \Delta DOA\) vuông tại O\( \Rightarrow DO = \sqrt {D{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)( pitago)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của hình trụ là: \(h=DO=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

Ta có: \({{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Gọi r là bán kính đay của hình trụ. Vì đáy hình trụ nội tiếp tam giác ABC nên ta có:\({{S}_{\Delta ABC}}=p.r\)

Trong đó p là nửa chu vi tam giác ABC \(\Rightarrow p=\dfrac{a+a+a}{2}=\dfrac{3a}{2}\) \(\Rightarrow r=\dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{p}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}{\dfrac{3a}{2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi \dfrac{a\sqrt{3}}{6}\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{2}}\)

Cách 2: Tính r vì tam giác ABC là tam giác đều \( \Rightarrow r = OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}a\)

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\pi {a^2}\)

Chọn C.