Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình th...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AD suy ra \(SH \bot AD\). Mà (SAD) vuông góc với đáy (ABCD) theo giao tuyến AD nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì H là trung điểm của AD suy ra tứ giác ABCH là hình vuông.

Hơn nữa \(BC = HD = a\) suy ra BCDH là hình bình hành nên \(CD//BH\)

Do đó\(d\left( {AM;CD} \right) = 2d\left( {AM;BH} \right)\)

Gọi \(I = AC \cap BH \Rightarrow MI//SH \Rightarrow MI \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong tam giác MAI kẻ \(IK \bot AM\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AI\\BH \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {MIA} \right) \Rightarrow BH \bot IK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra IK là đường vuông góc chung của AM và BH nên \(d\left( {AM;BH} \right) = IK\)

Ta có: \(MI = \dfrac{{SH}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};AI = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Trong tam giác vuông MAI có: \(IK = \dfrac{{MI.IA}}{{\sqrt {M{I^2} + I{A^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\)

Vậy \(d\left( {AM;CD} \right) = 2d\left( {AM;BH} \right) = 2IK = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}\)

Chọn D.