Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba đi...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ dạng đoạn chắn.

+) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

+) Sử dụng BĐT Buniacopxki tìm GTLN của biểu thức $d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right)$.

Giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$\Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}$ nhỏ nhất.

Áp dụng BĐT Buniacopxki ta có: $\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {3^2} = 9$

$\Leftrightarrow 3.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3$

$\Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Chọn đáp án C.