Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba đi...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) dạng đoạn chắn.

+) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

+) Sử dụng BĐT Buniacopxki tìm GTLN của biểu thức \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right)\).

Giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\,\,\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) nhỏ nhất.

Áp dụng BĐT Buniacopxki ta có: \(\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {3^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow 3.\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 9 \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge 3\)

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Chọn đáp án C.