Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng cách dựng các trục đường tròn của đáy \(ABCD\) và mặt bên \(SAB\)

- Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng định lý Pi – ta – go.

- Thể tích khối cầu được tính bởi công thức \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M\)  là trung điểm của \(AB,O=AC\cap BD\Rightarrow SM\bot AB;OM\bot AB\)

\(\Rightarrow \widehat{SMO}={{90}^{0}}\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right)\).

Gọi \(N\) là trọng tâm tam giác \(SAB\).

Qua \(O,N\) kẻ \(d\bot \left( ABCD \right),d'\bot \left( SAB \right)\), chúng cắt nhau ở \(K\).

Vì \(d,d'\) là trục các đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) và tam giác \(SAB\) nên \(K\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\).

Ta có:

\(SN=\frac{2}{3}SM=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)

\(KN=OM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}.2=1\)

\(\Rightarrow SK=\sqrt{S{{N}^{2}}+N{{K}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2\Rightarrow R=2\).

Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\frac{32\pi }{3}\)

Chọn D.