Cho hình lăng trụ đứng\(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy \(N\) là trung điểm của \(BB'\) , ta xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(B'C\)

Sử dụng \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( P \right)} \right) = d\left( {B';\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = BK\)  với \(BK \bot \left( P \right)\)

Để xác định được điểm \(K\) ta xác định một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(B\) mà \(\left( Q \right) \bot \left( P \right)\)

Xác  định giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\)  và \(\left( Q \right)\). Trong \(\left( Q \right)\) kẻ \(BK \bot d\) tại \(K \Rightarrow BK \bot \left( P \right)\) tại \(K.\)

Tính \(BK\)  dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết:

Lấy \(N\) là trung điểm của \(BB' \Rightarrow MN//B'C\)  (do \(MN\) là đường trng bình tam giác \(BB'C\) )

Mà \(MN \subset \left( {AMN} \right)\) suy ra \(B'C//\left( {AMN} \right)\)

Từ đó \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right)\)

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\)

Lại có \(AM \bot BN\left( {do\,BN \bot \left( {ABC} \right)} \right)\)  nên \(AM \bot \left( {BHN} \right)\) suy ra \(\left( {AMN} \right) \bot \left( {BHN} \right)\)

Ta kẻ \(BK \bot HN\) tại \(K\) , khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \bot \left( {BHN} \right)\\\left( {AMN} \right) \cap \left( {BHN} \right) = HN\\BK \bot HN\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {AMN} \right)\) tại \(K.\)

Hay \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right) = BK\)

+ Tam giác \(ABM\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao nên \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{M^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \to BH = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\)

+ Ta có \(BB' = AA' = a\sqrt 2  \Rightarrow BN = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

+ Tam giác  \(BHN\) vuông tại \(B\) có \(BK\) là đường cao nên \(\dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{B{H^2}}} + \dfrac{1}{{B{N^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{{a^2}}} \Rightarrow BK = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\)

Vậy \(d\left( {AM;B'C} \right) = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\).

Chọn D.