Phương trình \(\left| {\sin x - \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \left| {\sin x - \cos x} \right| = \sqrt 2 \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \sqrt 2 \left| {\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|\,\,\,\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\).

- Đưa về phương trình bậc 2 ẩn t

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \left| {\sin x - \cos x} \right| = \sqrt 2 \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \sqrt 2 \left| {\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right|\,\,\,\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\). Ta có: \({t^2} = 1 - 2\sin 2x \Rightarrow \sin 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình: \(t + 4 \cdot \frac{{1 - {t^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{{ - 1}}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)\(\begin{array}{l}t = 1 \Rightarrow \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \\x = k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{l\pi }}{2}\left( {l \in Z} \right).\end{array}\)

Với nghiệm \(x = \frac{{l\pi }}{2}\left( {l \in Z} \right)\)được biểu diễn bởi 4 điểm trên đường tròn lương giác.

Chọn C.