Tìm m để phương trình   \({\cos ^3}x\, + \,{\sin ^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức nghiệm cơ bản để giải phương trình.

+) Dựa vào khoảng và yêu cầu của đề bài để tìm m.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x)(1\, - \,\cos x.\,\sin x)\, = \,\cos x\, + m\,\sin 2x\, + \,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,\frac{1}{2}(\cos x\, + \,\sin x)\,\sin 2x\, = \,m\,\sin 2x\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x\, - 2m)\,\sin 2x\, = \,0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sin x + \cos x = 2m\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình (1): \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin 2x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2x\, = \,k\pi \,\,\, \Leftrightarrow x\, = \,k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét \(0 < \frac{{k\pi }}{2} < \pi  \Leftrightarrow k = 1\), phương trình có nghiệm \[\frac{\pi }{2}\], tích các nghiệm còn lại \(\frac{{{\pi ^3}}}{{36}}:\frac{\pi }{2} = \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}\)

Phương trình (2): \(\sin x + \cos x = 2m \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = m\sqrt 2 \) có nghiệm thì \(\left| m \right| \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đặt \(m\sqrt 2  = \sin \alpha \,\,\left( {\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)\), phương trình:\(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \alpha  + l2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \alpha  + n2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  - \frac{\pi }{4} + l2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha  + n2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \alpha  - \frac{\pi }{4} + l2\pi  < \pi  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}l = 0\\\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\\0 < \frac{{3\pi }}{4} - \alpha  + n2\pi  < \pi  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 0\\\alpha  \in \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Tích hai nghiệm: \(\left( {\alpha  - \frac{\pi }{4}} \right)\left( {\frac{{3\pi }}{4} - \alpha } \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{{18}} \Leftrightarrow {\alpha ^2} - \pi \alpha  + \frac{{35{\pi ^2}}}{{144}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = \frac{{5\pi }}{{12}}\\\alpha  = \frac{{7\pi }}{{12}}\end{array} \right.\)

Với \(\alpha  = \frac{{5\pi }}{{12}}\) suy ra \(m = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{{12}}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}\)