Dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_n} = \sqrt {2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

+) Nếu \(H > 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

+) Nếu \(H < 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.

Giải chi tiết:

Ta có : \({u_{n + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {....... + \sqrt {2010} } } } \) (\(n + 1\) dấu căn).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 2010 + {u_n} \Leftrightarrow {u_n} = u_{n + 1}^2 - 2010\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} =  - u_{n + 1}^2 + {u_{n + 1}} + 2010\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} =  - \left( {{u_{n + 1}} - \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + \frac{{1 - \sqrt {8041} }}{2}} \right)\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}{\rm{  }}\forall n\)

Ta chứng minh như sau:

Giả sử \({u_k} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } }  < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (k dấu căn)

Cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } }  < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (\(k + 1\)  dấu căn)

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + {u_k}}  < \sqrt {2010 + \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}}  = \sqrt {\frac{{4021 + \sqrt {8041} }}{2}}  = \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} } }}{2}\\ < \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041}  + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt {8041} } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\\ \Rightarrow {u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}.\end{array}\)

Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy tăng.

 Chọn A.