i) Tìm số tự nhiên \(n\) để \(7|\left( {{2}^{n}}-1...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của n và đánh giá.

Giải chi tiết:

i) TH1: \(n = 3k\)

Ta có: \({2^n} - 1 = {2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = \left( {8 - 1} \right)A = 7A\) chia hết cho 7

TH2: \(n=3k+1\)

Ta có: \({{2}^{n}}-1={{2}^{3k+1}}-1={{2.8}^{k}}-1=2\left( {{8}^{k}}-1 \right)+1\)                   

                    \(=2.\left( 8-1 \right)A+1=2.7A+1\) không chia hết cho 7.

TH3: \(n = 3k + 2\)

Ta có: \({{2}^{n}}-1={{2}^{3k+2}}-1={{4.8}^{k}}-1=4.\left( {{8}^{k}}-1 \right)+3=4.7A+3\) không chia hết cho 7.

Vậy \(\forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\)sao cho \(n\,\,\vdots \,\,3\) thì\(7|\left( {{2}^{n}}-1 \right)\).

ii) TH1: \(n=3k\)

Ta có: \({2^n} + 1 = {2^{3k}} + 1 = {8^k} + 1 = {\left( {7 + 1} \right)^k} + 1 = 7A + 1 + 1\) không chia hết cho 7.

TH2: \(n=3k+1\)

Ta có: \({2^n} + 1 = {2^{3k + 1}} + 1 = {2.8^k} + 1 = 2.{\left( {7 + 1} \right)^k} + 1 = 2.\left( {7A + 1} \right) + 1\)  không chia hết cho 7.

TH3: \(n = 3k + 2\)

Ta có: \({2^n} + 1 = {2^{3k + 2}} + 1 = {4.8^k} + 1 = 4.{\left( {7 + 1} \right)^k} + 1 = 4.\left( {7A + 1} \right) + 1\) không chia hết cho 7.

Vậy \(7\not{|}\left( {{2}^{n}}+1 \right)\,\,\forall n\in \mathbb{N}\).