Giải phương trình \(\sqrt[3]{{{x^3} + 5{x^2}}} - 1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {\dfrac{{5{x^2} - 2}}{6}} \)

Giải chi tiết:

Điều kiện \(\dfrac{{5{x^2} - 2}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt {\dfrac{2}{5}} \\x \le  - \sqrt {\dfrac{2}{5}} \end{array} \right.\) (*)

Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{5{x^2} - 2}}{6}}  \Rightarrow 5{x^2} - 2 = 6{t^2} \Leftrightarrow 5{x^2} = 6{t^2} + 2\), khi đó phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{{x^3} + 6{t^2} + 2}} = t + 1 \Leftrightarrow {x^3} + 6{t^2} + 2 = {\left( {t + 1} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {x^3} = {t^3} - 3{t^2} + 3t - 1 = {\left( {t - 1} \right)^3}\\ \Rightarrow x = t - 1 = \sqrt {\dfrac{{5{x^2} - 2}}{6}}  - 1 \Leftrightarrow x + 1 = \sqrt {\dfrac{{5{x^2} - 2}}{6}} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\6{x^2} + 12x + 6 = 5{x^2} - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} + 12x + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 6 + 2\sqrt 7 \end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 6 + 2\sqrt 7 .\)