Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\sqrt {21 - {x^2} - 4x}  = t\,\;\left( {t \ge 0} \right)\). Tìm điều kiện của t, lập bảng biến thiên, biện luận nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(21 - {x^2} - 4x \ge 0 \Leftrightarrow  - 7 \le x \le 3.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{x^2} + 4x + 4\sqrt {21 - {x^2} - 4x}  + 2m - 1 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow 21 - {x^2} - 4x - 4\sqrt {21 - {x^2} - 4x}  = 2m + 20.\end{array}\)    

Ta có \(21 - {x^2} - 4x =  - {x^2} - 4x - 4 + 25 =  - {\left( {x + 2} \right)^2} + 25 \le 25\;\forall x \in \left[ { - 7;\;3} \right].\)

\( \Rightarrow 0 \le \sqrt {21 - {x^2} - 4x}  \le \sqrt {25}  = 5.\)

Đặt \(\sqrt {21 - {x^2} - 4x} = t\, \Rightarrow t \in \left[ {0;5} \right]\)

Khi đó phương trình (1) trở thành: \({t^2} - 4t = 2m + 20\) (2)

Khi đó số nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = {t^2} - 4t\) và đường thẳng \(y = 2m + 20.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) , ta có bảng biến thiên:

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \(x \in \left[ { - 7;\;3} \right] \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \(t \in \left[ {0;5} \right].\)

\( \Leftrightarrow - 4 < 2m + 20 \le 0 \Leftrightarrow - 12 < m \le - 10\)

Vậy với \(m \in \left( { - 12;\left. { - 10} \right]} \right.\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 Chọn D