Cho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán điểm rơi để khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết và tồn tai dấu bằng xảy ra.

Giải chi tiết:

Cho x, y là các số dương và \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + y\)

Ta có x, y là các số dương nên \(\frac{9}{x}\) và \(\frac{{36}}{y}\) cũng là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(x\) và \(\frac{9}{x}\) ta được:

\(x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{9}{x}}  = 6\)   (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(y\) và \(\frac{{36}}{y}\) ta được:

\(y + \frac{{36}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{36}}{y}}  = 12\)   (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow x + \frac{9}{x} + y + \frac{{36}}{y} \ge 18 \Leftrightarrow P + 9\left( {\frac{1}{x} + \frac{4}{y}} \right) \ge 18 \Leftrightarrow P \ge 9\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\\x = \frac{9}{x}\\y = \frac{{36}}{y}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1\\{x^2} = 9\\{y^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 6\end{array} \right.\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0} \right)\)

Vậy \({P_{\min }} = 9\) đạt được khi \(x = 3;y = 6.\)

Chọn C.