Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định m để \(y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\), dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên [1;2]

Giải chi tiết:

Ta có: \(y = {\left( {2019} \right)^{{x^3} - {x^2} + mx}} \Rightarrow y' = \left( {3{x^2} - 2x + m} \right).{\left( {2019} \right)^{{x^3} - {x^2} + mx}}\)

Để hàm số \(y = {\left( {2019} \right)^{{x^3} - {x^2} + mx}}\) đồng biến trên [1;2] thì \(y' \ge 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\), dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên đoạn [1;2] \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + m \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)\( \Leftrightarrow m \ge  - 3{x^2} + 2x,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)   (*)

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 2x\) trên  [1;2]: \(f'\left( x \right) =  - 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {1;2} \right]\)

Mà \(a =  - 3 < 0 \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên  [1;2] \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 1\)

Khi đó (*)\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow m \ge  - 1\).

Chọn: A