Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi rl\).

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow OI \bot AB\)

Mà \(OO' \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {OO'I} \right) \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {O'AB} \right);\left( {O;R} \right)}} \right) = \widehat {O'I;OI} = \widehat {OIO'} = 60^\circ \)

Gọi độ dài đoạn \(OO' = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O'A = \sqrt {OO{'^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{x^2} + {R^2}} \\OI = OO'.\cot 60^\circ  = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

Tam giác OBI vuông tại I \( \Rightarrow IB = \sqrt {O{B^2} - O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{3}}  \Rightarrow AB = 2\sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{3}} \)

Tam giác O’AB đều

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = O'A \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{3}}  = \sqrt {{x^2} + {R^2}} \\ \Leftrightarrow 4{R^2} - \dfrac{{4{x^2}}}{3} = {x^2} + {R^2} \Leftrightarrow \dfrac{7}{3}{x^2} = 3{R^2} \Rightarrow x = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\end{array}\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .R.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{6\sqrt 7 \pi {R^2}}}{7}\).

Chọn: C