Cho các số thực \(x,\ y,\ z\) không âm thỏa mãn \(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính \({{Q}^{2}}\), thay \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( xz \right)}^{2}}\).

+) Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức.

+) Đánh giá GTLN nhờ các hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

Ta có: \({{Q}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+zx \right)=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( zx \right)}^{2}}+2xy+2yz+2zx\)

\(\begin{align}  & =9-\left[ {{\left( xy-1 \right)}^{2}}+{{\left( yz-1 \right)}^{2}}+{{\left( zx-1 \right)}^{2}} \right]\le 9\Leftrightarrow Q\le 3. \\  & \Rightarrow Max\ Q=3. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & xy=yz=zx=1 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn D