a) Giải phương trình \(2{{x}^{3}}-\sqrt{108x+45}=x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng phương trình tích.

b) Đặt ẩn phụ \(a=\frac{x}{y+1};\,\,b=\frac{y}{x+1}\).

Giải chi tiết:

a) ĐK: \(x\ge -\frac{5}{12}\)

\(\begin{array}{l}
2{x^3} - \sqrt {108x + 45} = x\sqrt {48x + 20} - 3{x^2}\\
\Leftrightarrow 2{x^3} - 3\sqrt {12x + 5} = 2x\sqrt {12x + 5} - 3{x^2}\\
\Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} = 2x\sqrt {12x + 5} + 3\sqrt {12x + 5} \\
\Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = \sqrt {12x + 5} \left( {2x + 3} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} - \sqrt {12x + 5} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + 3 = 0\\
{x^2} = \sqrt {12x + 5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\
{x^4} = 12x + 5\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 4{x^2} + 12x + 9\\
\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = {\left( {2x + 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 2 = 2x + 3\\
{x^2} + 2 = - 2x - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 1 = 0\\
{x^2} + 2x + 5 = 0\;\;\left( {VN} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 + \sqrt 2 \\
x = 1 - \sqrt 2
\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\pm \sqrt{2}\)

b)  ĐK: \(x\ne -1;y\ne -1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\
{\left( {\frac{x}{{y + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{{x + 1}}} \right)^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x\left( {x + 1} \right) + y\left( {y + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\
{\left( {\frac{x}{{y + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{{x + 1}}} \right)^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = 1\\
{\left( {\frac{x}{{y + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{{x + 1}}} \right)^2} = 1
\end{array} \right.\)

Đặt \(a=\frac{x}{y+1};\,\,b=\frac{y}{x+1}\), khi đó hệ phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 1\\
{a^2} + {b^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1 - a\\
2{a^2} - 2a + 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1 - a\\
2a\left( {a - 1} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1 - a\\
\left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{y + 1}} = 0\\
\frac{y}{{x + 1}} = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{{y + 1}} = 1\\
\frac{y}{{x + 1}} = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( x;y \right)=\left( 1;0 \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( 0;1 \right)\)

 Chọn C