a)Giải phương trình \({x^2} - 4x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn.

+) Phương trình có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) và hệ thức bài cho để tìm m.

Giải chi tiết:

 

1.      Giải phương trình \({x^2} - 4x + 4 = 0\)

\({x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}.\)

2.      Tìm giá trị của m để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) (*) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10\)

+) Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 2m \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 1.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ đề bài ta có: \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 100\)

Lại có \({x_1}{x_2} = {m^2} + 3 > 0\;\forall m \Rightarrow \left| {{x_1}{x_2}} \right| = {x_1}{x_2} = {m^2} + 3.\)

Khi đó ta có: \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 10 \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = 100\)

                  \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| + x_2^2 = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2{x_1}{x_2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} =  \pm 10.\end{array}\)

+) TH1: \({x_1} + {x_2} = 10\) kết hợp với   (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 10\\{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) = 10 \Leftrightarrow m = 4\left( {tm} \right)\)

+)TH2: \({x_1} + {x_2} = 10\) kết hợp với   (2) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 10\\{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) =  - 10 \Leftrightarrow m =  - 6\;\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(m = 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.