Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO

b) Chứng minh EK là đường cao trong tam giác vuông CEO từ đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để suy ra điều phải chứng minh.

c) Chứng minh I là giao của 2 đường phân giác trong tam giác CEF

d) Chứng minh để tam giác CEF đều thì OC phải bằng một khoảng cố định nào đó từ đó suy ra vị trí của điểm C cần xác định

Giải chi tiết:

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì  H  là trung điểm của dây cung  AB  của \(\left( O \right)\) nên OH vuông góc với AB, suy ra tam giác COH  nội tiếp đường tròn đường kính CO  (1)

Vì CE  là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên  CE  vuông góc với  OE, suy ra tam giác COE  nội tiếp đường tròn đường kính CO  (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO.

b) Gọi CO cắt EF tại K. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

 Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CE = CF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \) CO  là đường trung trực của EF

\( \Rightarrow CO \bot EF\)

Xét tam giác vuông CEO đường cao EK  ta có:

\(OK.OC = O{E^2} = {R^2}\)  (đpcm)

c) Đoạn thẳng CO cắt \(\left( O \right)\) tại  I. Chứng minh I  là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

Vì \(OI = OF = R\)  nên tam giác OIE cân tại O

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\)  mà  \(\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle CFI = \angle IFK\) (tính chất bắc cầu)

\( \Rightarrow \) FI là phân giác của \(\angle CFE\)   (3)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \) CI là phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất)   (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \) I  là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF  (đpcm)

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Tam giác CEF đều \( \Rightarrow \angle ECF = {60^o}\)

Mà CI  là phân giác của \(\angle ECF\) (cmt) \( \Rightarrow \angle FCO = {30^o}\)

Có tam giác FCO vuông tại F có \(\angle FCO = {30^o}\)

\( \Rightarrow OC = 2OF = 2R\)

Vậy điểm C trên tia đối của tia AB sao cho \(OC = 2R\) thì tam giác CEF đều.