Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn \(\lef...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh AIMK là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

b) Chứng minh\(\angle MPK\) và \(\angle MBC\) cùng bằng góc thứ 3 dụa vào tứ giác nội tiếp và tính chất tiếp tuyến.

c) Chứng minh \(\Delta MIP \sim \Delta MPK\) (g.g) bằng các tứ giác nội tiếp từ đó suy ra đpcm

d) Từ c) \( \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\). Để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) MP lớn nhất \( \Leftrightarrow \) M nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot AB\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AIM = {90^0}\\MK \bot AC\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AKM = {90^0}\end{array} \right.\) 

Tứ giác AIMK có: \(\angle AIM + \angle AKM = {180^o}\)

\( \Rightarrow \) AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM (dhnb).

b) Vẽ MP vuông góc với BC (\(P \in BC\)). Chứng minh \(\angle MPK = \angle MBC\).

Ta có: \(MP \bot BC\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MPC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle MPC + \angle MKC = {180^o}\)

\( \Rightarrow \) CPMK là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle MPK = \angle MCK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)

Mặt khác \(\angle MCK = \angle MBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)

\( \Rightarrow \angle MPK = \angle MBC\;\;\left( { = \angle MCK} \right)\) (đpcm)

c) Chứng minh rằng \(MI.MK = M{P^2}\).

Ta có: \(\angle MIB + \angle MPB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) BPMI là tứ giác nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle MIP = \angle MBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)

Mà \(\angle MPK = \angle MBC\) (cm b)

\( \Rightarrow \angle MIP = \angle MPK\;\;\left( { = \angle MBC} \right)\)

Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: \(\angle MPI = \angle MKP\;\;\left( { = \angle MCB = \angle MBI} \right)\)

Xét \(\Delta MIP\) và \(\Delta MPK\) có:

\(\begin{array}{l}\angle MIP = \angle MPK\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle MPI = \angle MKP\;\;\;\left( {cmt} \right)\end{array}\)

 \( \Rightarrow \Delta MIP \sim \Delta MPK\;\;\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{MI}}{{MP}} = \frac{{MP}}{{MK}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2}\) (đpcm)

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(MI.MK = M{P^2}\) (cm c) \( \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)

\( \Rightarrow \) Để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) MP lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của O trên BC \( \Rightarrow OH\) là hằng số (do BC cố định)

Gọi \(MO \cap BC = \left\{ D \right\}\), ta có \(MP \le MD\,\,;\,\,OH \le OD\)

\( \Rightarrow MP + OH \le MD + OD = MO \Rightarrow MP + OH \le R \Rightarrow MP \le R - OH\)

\( \Rightarrow \) MP lớn nhất bằng \(R - OH \Leftrightarrow O,\;H,\;M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC

Vậy khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC thì tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.