Cho các biểu thức:\(A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Quy đồng và rút gọn phân thức

+ Tính và đưa T về dạng \(T = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x.Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của T

Giải chi tiết:

a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\).

Tại \(x = 16\) thì \(A = 1 - \frac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \frac{4}{{1 + 4}} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\)

b) Rút gọn B.

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\end{array}\)

c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.

\(A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{1 + \sqrt x  - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\)

\(T = \frac{A}{B} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }}\)

Do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 =  - 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\)

Vậy \(\min T =  - 2\) khi \(x = 0.\)

Chọn B.