Cho hàm số \(y =  - {x^3} + m{x^2} - x - 4m\) có đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đưa về phương trình ẩn m, tìm điều kiện để phương trình ẩn m nghiệm đúng với mọi m. Tìm A.

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là \(y'\left( {{x_A}} \right)\).

+) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng -1.

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\,\,\left( {{x_0} < 0} \right)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( {{C_m}} \right)\,\,\forall m\\ \Rightarrow {y_0} =  - x_0^3 + mx_0^2 - {x_0} - 4m\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow  - x_0^3 - {y_0} + mx_0^2 - {x_0} - 4m = 0\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x_0^3 - {y_0} - {x_0} = 0\\x_0^2 - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\{y_0} = 10\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 2;10} \right)\end{array}\)

Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 2mx - 1 \Rightarrow y'\left( { - 2} \right) =  - 13 - 4m\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại A của \(\left( {{C_m}} \right)\) là: \(y = \left( { - 13 - 4m} \right)\left( {x + 2} \right) + 10\,\,\left( {{d_1}} \right)\)

Phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình \(y = x\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

\(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left( { - 13 - 4m} \right).1 =  - 1 \Leftrightarrow m =  - 3\)

Chọn A.