a)      Cho a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Cho a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau: \(a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} = c + \dfrac{1}{a} = x.\) Tính \(P = x.abc\).

Ta có: \(a + \dfrac{1}{b} = b + \dfrac{1}{c} \Leftrightarrow a - b = \dfrac{{b - c}}{{bc}}\)

Tương tự ta có: \(b - c = \dfrac{{c - a}}{{ac}};c - a = \dfrac{{a - b}}{{ab}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = \dfrac{{b - c}}{{bc}}.\dfrac{{c - a}}{{ac}}.\dfrac{{a - b}}{{ab}}\\ \Leftrightarrow {\left( {abc} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}abc = 1\\abc =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(abc = 1 \Rightarrow P = x\) thì giả thiết tương đương với:

\(\begin{array}{l}a + ac = b + ba = c + cb = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} = \left( {a + ac} \right)\left( {b + ba} \right)\left( {c + cb} \right) = abc\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)\\a + b + c + ab + ac + cb = 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^3} = abc + ab + ac + bc + 1 + a + b + c = ab + ac + bc + a + b + c + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} = 3x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 2\\P =  - 1\end{array} \right..\end{array}\)

Nếu \(abc =  - 1\), biến đổi hoàn toàn tương tự.

\(\begin{array}{l}a - ac = b - ba = c - cb = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} = \left( {a - ac} \right)\left( {b - ba} \right)\left( {c - cb} \right) = abc\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) = \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right)\\a + b + c - ac - ba - cb = 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^3} = abc - ab - ac - bc - 1 + a + b + c =  - ab - ac - bc + a + b + c - 2\\ \Leftrightarrow {x^3} = 3x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 2\\P =  - 1\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy giá trị của P là: \(P = 2\) hoặc \(P =  - 1\).

b)     Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: \(x + y + z = 9;\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 1\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(T = {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz.\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{{x + y + z}} = 1\). Do đó dấu bằng phải xảy ra thì mới xảy ra giả thiết hay \(x = y = z = 3\)

Thay vào T ta được \(T = 162\).

Vậy giá trị nhỏ nhất hay cũng là giá trị duy nhất của T là 162.