(2,0 điểm)1) Giải hệ phương trình...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - \left| {y + 2} \right| = 3\\x + 2\left| {y + 2} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x - 2\left| {y + 2} \right| = 6\\x + 2\left| {y + 2} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x = 9\\x + 2\left| {y + 2} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left| {y + 2} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\left[ \begin{array}{l}y + 2 = 1\\y + 2 =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1; - 1} \right),\left( {1; - 3} \right)} \right\}\).

2)

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} = \left( {m + 2} \right)x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = {m^2} + 4m + 16 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 12 > 0,\forall m\)

Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\) 

+) Cách 1:

Do \({x_1}.{x_2} =  - 3\)  mà \({x_1},{x_2} \in Z\) nên ta có bảng sau:

TH1: \({x_1} = 1;{x_2} =  - 3 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow 1 - 3 = m + 2 \Leftrightarrow m =  - 4\)

TH2: \({x_1} =  - 1;{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow  - 1 + 3 = m + 2 \Leftrightarrow m = 0\)

TH3: \({x_1} = 3;{x_2} =  - 1 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow 3 - 1 = m + 2 \Leftrightarrow m = 0\)

TH4: \({x_1} =  - 3;{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow  - 3 + 1 = m + 2 \Leftrightarrow m =  - 4\)

Vậy m = -4 ; m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Cách 2: nên do \({x_1},{x_2} \in Z\) thì \(m \in Z\).

Do \(x{ _1} + {x_2} = m + 2\)

\({x^2} - \left( {m + 2} \right)x - 3 = 0\,\,\)

Xét TH \(x = 0\,\,pt(1) \Leftrightarrow  - 3 = 0\left( {ktm} \right) \Rightarrow x \ne 0\)

Ta có: \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x - 3 = 0 \Leftrightarrow m + 2 = \frac{{{x^2} - 3}}{x} \Leftrightarrow m = x - 2 - \frac{3}{x}\)

Do \(x \in Z\) nên \(m \in Z \Leftrightarrow x \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)

Ta có bảng:

\({x^2} = \left( {m + 2} \right)x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(m = 0\) ta có (1) trở thành: \({x^2} - 2x - 3 = 0\)

Có: \(a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} =  - 1;{x_2} = 3\)

Vậy m = 0 thỏa mãn

+) Với \(m =  - 4\)  ta có (1) trở thành: \({x^2} + 2x - 3 = 0\)

Có: \(a + b + c = 1 + 2 - 3 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = 1;{x_2} =  - 3\)

Vậy m = - 4 thỏa mãn

Vậy \(m \in \left\{ { - 4;0} \right\}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.