Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: \({x^2} + {y^...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Với dạng vai trò x, y, z như nhau ta có thể giả sử: \(x \ge y \ge z.\) Từ đó ta phá trị tuyệt đối và biến đổi biểu thức.

+) Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương.

Giải chi tiết:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: \(x \ge y \ge z.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}M = \left| {{x^3} - {y^3}} \right| + \left| {{y^3} - {z^3}} \right| + \left| {{z^3} - {x^3}} \right| = {x^3} - {y^2} + {y^3} - {z^3} - {z^3} + {x^3} = 2\left( {{x^3} - {z^3}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} = \left( {x - z} \right)\left( {{x^2} + xz + {z^2}} \right) = \sqrt {{{\left( {x - z} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{x^2} + xz + {z^2}} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} = \sqrt {{x^2} - 2xz + {z^2}} .\sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} .\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{M}{2} = \sqrt {{x^2} - 2xz + {z^2}} .\sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \sqrt {{x^2} + xz + {z^2}} \\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} \le \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2} - 2xz + {z^2} + {x^2} + xz + {z^2} + {x^2} + xz + {z^2}}}{3}} \right)}^3}} \\ \Leftrightarrow \frac{M}{2} \le \sqrt {{{\left( {{x^2} + {z^2}} \right)}^3}}  \le \sqrt {{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^3}}  = \sqrt {{8^3}}  = 16\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow M \Leftrightarrow 32\sqrt {2.} \end{array}\)

Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = z = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 2 \\y = z = 0\end{array} \right..\)

Tương tự ta chứng minh với các TH :\(x \le y \le z...\)

Vậy \(Max\;M = 32\sqrt 2 \) khi \(\left( {x;\;y;\;z} \right) = \left( {2\sqrt 2 ;\;0;\;0} \right)\) và các hoán vị.

Chọn C.