1) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt {\frac{1}{2}}  -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng các công thức: \(\sqrt {\frac{A}{B}}  = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }},\;\;\sqrt A .\sqrt B  = \sqrt {A.B} .\)

2) Phân tích các mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức. Biến đổi và rút gọn biểu thức B.

+) Dựa vào kết quả của biểu thức B  đã rút gọn, tìm \(a \in Z\) để \(B \in Z.\)

Khi đó tử số phải chia hết cho mẫu số.

Từ đó ta lập bảng giá trị hoặc giải các phương trình để tìm \(a \in Z.\)

Giải chi tiết:

1) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt {\frac{1}{2}}  - \frac{1}{2}\sqrt 8  + \sqrt 6 .\sqrt 3 .\)

\(\begin{array}{l}A = 2\sqrt {\frac{1}{2}}  - \frac{1}{2}\sqrt 8  + \sqrt 6 .\sqrt 3 \\\;\;\; = \frac{2}{{\sqrt 2 }} - \frac{{\sqrt {{2^2}.2} }}{2} + \sqrt {6.3} \\\;\;\; = \sqrt 2  - \frac{{2\sqrt 2 }}{2} + \sqrt {{3^2}.2} \\\;\;\; = \sqrt 2  - \sqrt 2  + 3\sqrt 2  = 3\sqrt 2 .\end{array}\)

Vậy \(A = 3\sqrt 2 .\)

2) Cho biểu thức \(B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a  + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}\) với \(a \ge 0\) và \(a \ne 9.\)

Rút gọn B. Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên.

Điều kiện: \(a \ge 0,\;\;a \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a  + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a  + 3}} - \frac{{a - 2}}{{\left( {\sqrt a  - 3} \right)\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 3} \right) - 3\left( {\sqrt a  - 3} \right) - a + 2}}{{\left( {\sqrt a  - 3} \right)\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{a + 3\sqrt a  - 3\sqrt a  + 9 - a + 2}}{{\left( {\sqrt a  - 3} \right)\left( {\sqrt a  + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{11}}{{a - 9}}.\end{array}\)

Ta có: \(B \in Z \Leftrightarrow \frac{{11}}{{a - 9}} \in Z \Leftrightarrow 11\;\; \vdots \;\;\left( {a - 9} \right) \Leftrightarrow \left( {a - 9} \right) \in U\left( {11} \right).\)

Mà \(U\left( {11} \right) = \left\{ { \pm 11;\;\; \pm 1} \right\}.\) Khi đó ta có bảng giá trị:

Vậy \(a \in \left\{ {8;\;10;\;20} \right\}\) thì \(B\) nhận giá trị nguyên.

Chọn B.